最近在重新学概率,在书里看到一个所谓的“假传染”现象,仔细一想,就yy出了这篇东西。纯属yy,不保证其正确性,但欢迎与我讨论其中的错误之处。

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设男生里面有这么一群如我一样的衰男,比例占所有男生的1/20,这批人表白被拒的概率为90%,剩下19/20的男生被拒的概率只有20%。那么如果我们随机选一个人,考察他被拒的概率P{R},易得

P{R} = 0.05 * 0.9 + 0.95 * 0.2 = 0.235

现在我们计算一个衰男被连拒两次的概率P{RR},有

P{RR} = 0.05 * 0.9 * 0.9 + 0.95 * 0.2 * 0.2 = 0.0405 + 0.038 = 0.0785

现在我们想求,已知一个衰男在被拒了一次后,第二次仍然被拒的概率,那么奇怪的事情出现了。从我们的定义上来看,前后两次之间应该是独立没有关联的,也就是说他第二次被拒的概率似乎仍然应该是P{R}=0.235。但我们用另一种方法计算条件概率的话,却有

P{RR|R} = P{RR} / P{R} = 0.334

也就是说,如果他第一次被拒,那么他第二次仍被拒的几率会比单独一次的时候增加。这个结果真是令我们这1/20的猥琐男们痛心啊!本来成功的机率就不大,如果坚持不懈的话反而成功率还越来越低……那么问题出在哪里呢?为什么前后两次不是独立事件呢?

实 际上,从全体男生上来看,前后两次事件确实是独立的,完全没有问题。但我们讨论的实际上是具体到了某一个被抽出来的男生,这时候情况就不同了,如果某个事 件在这个样本上发生过一次,那么在其身上再次发生的概率确实是会增加的,尽管从总体上看前后事件仍然独立。这就好像我们常说的那句话,就算某事发生的概率 是万分之一,但对于遭遇到的那个人来说,概率就是百分之百。

这个结果虽然看上去违反直觉,但实际上我们一直在不自觉地使用着。比如我们想到某地去挖宝藏,如果某人挖了N久之后终于挖出一点点,他马上就会坚定的认为继续挖下去会找到更多。实际上从整体来看概率并没有增加,但对这个样本来说,下次成功的机率确实提高了。

下 面我们简单证明一下为什么一定是提高的:设两类样本比例分别为c1,c2 (c1+c2=1),事件R发生的概率分别为p1, p2 (0 <= p1, p2 <= 1),则有P{R} = c1*p1+c2*p2, P{RR}=c1*p1^2 + c2*p2^2,我们要证的是 P{RR} / P{R} >= P{R},即证

c1*p1^2 + c2*p2^2 >= (c1*p1 + c2*p2)^2        (1)

我们把c2=1-c1代入式(1),化简后即可得 c1*(1-c1)*(p1-p2)^2 >= 0. QED.

尽管数学上给出了悲观的结果,但生活并不是这么简单的数学模型。所以,无论如何,为了心中的梦想,为了怀抱中的MM,广大WSN们共勉……

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