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http://remonstrate.wordpress.com/2009/04/04/各种-lets/

最近碰到了各种 let,在这里介绍一下,看到哪里写到哪里吧。

Wavelet
小波的思想依照 super big cow soup 的说法就是把 Fourier series
的那组基换成一个一个 window 里面的东西,这样不仅仅在频率域
上分辨信号,同时也能在时间域上分辨信号。

定义小波,往往使用一组正交基(但不是 L2 上的,是 L2 的子空间)
记为 φ(t),通过平移这个局部性的基获得 φ(t - k) 一组基,设这族正交
函数生成的空间为 V0。通过 scaling 这组基(φ 也称为 scaling
function),我们可以增大/减小它的分辨率,这往往通过乘以/除以 2
的幂次。我们要求增大分辨率后的函数空间包含原来的函数空间,换
言之,φ(t) 是可以用 φ(2t - k) 这族基的线性组合精确表达出来的。

那么我们通过 scaling 获得一组函数空间:每一个嵌套在更高分辨率
的空间里,向更高分辨率取极限是 L2,向更低分辨率取极限是 {0}。
那么我们知道我们总可以在更高分辨率的空间里找到低分辨率空间
不存在的函数,也就是说存在与其正交的函数,我们可以把 V(i+1) 这
个函数空间分解成 V(i) 和 W(i) 两部分,其中 W(i) 与 V(i) 是正交的。

所谓的小波就是 W(i) 里面的一组正交基,记为 ψ(.),比如 W0 里面
的那个基准小波记为 ψ(t) 的话,ψ(t - k) 就是 W0 的一组基了。通常
φ 还被称为父小波(father wavelet)而 ψ 称为母小波(mother
wavelet)。

常见的小波有:
离散: Beylkin、BNC wavelet、Haar 小波,DB 族(Daubechies,
从编号 1-10,其中 db1 就是 Haar 小波),Coiflets (更对称的 DB),
CDF(Cohen-Daubechies-Feauveau 是一种 biorthogonal wavelets,
使用不同的基作 measurement 和 representation,JPEG 2000 用的
其中两对,5/3 作为无损压缩,9/7 作为有损压缩),binomial-QMF
MathieuLegendreVillasensor,symlet(另一个版本对称的 DB?)。
连续:MorletHermitianHermitian hatMexican hatShannon
(sinc),difference of GaussianBeta,causal、μ、Cauchy、Addison。
复值:以上的复数版本。

和 Fourier 变换类似,所谓的 CWT 和 DWT 就是 Fourier 变换和级数
展开(离散)版本,Matlab 提供了 cwt 和 dwt 命令完成对应的功能,
一般分析数据都使用 dwt(如同使用 fft 而不用 Fourier 变换本身)。
多数小波可以用 Matlab 的 wavelet toolbox 获得,比如 mexihat,morlet
等。

在 DWT 里面,很重要的一点就是展开式,我们知道 L2 的函数可以用
V(i) 和 W(j) 其中 j >= i 表示,即分解为一组父函数和很多母函数的级数和。
可以认为是在 V(i) 中进行近似,而后面 W(j) 产生的需要精度的细节。基
于这个想法,可以对数据进行降噪,压缩。对应的二维小波使用 dwt2 类
似的函数。和 ifft 类似,也有 idwt 函数。用 filter 的说法是,父函数对应
低通滤波的结果,而母函数对应的是高通滤波的结果。与 FFT 不同的是
wavelet 通过父母小波之间的关系可以方便的进行 multi-level 上的处理,
dwt 获得的其实是 level 1 的结果,wavedec 可以进行 multi-level 分解,
level 越小,对应的小波 scale 越小(离散情况下这样比较方便),我们
可以从结果里面抽取不同 level 上父母小波的系数,一般称父小波对应的
approximation 而母小波对应的为 detail,分别可以用 appcoef 和 detcoef
获得对应的系数,重构调用 wrcoef 即可。

Chirplet

Curvelet

Noiselet

Treelet

Graphlet